Энергия магнитного поля катушки определение. Энергия магнитного поля определение. Примеры решения задач

>> Энергия магнитного поля тока

§ 16 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКА

Согласно закону сохранения энергии энергия магнитного поля, созданного током, равна той энергии, которую должен затратить источник тока (гальванический элемент, генератор на электростанции и др.) на создание тока. При размыкании цепи эта энергия переходит в другие виды энергии .

То, что для создания тока необходимо затратить энергию, т. е. необходимо совершить работу, объясняется тем, что при замыкании цепи, когда ток начинает нарастать, в проводнике появляется вихревое электрическое поле, действующее против того электрического поля, которое создается в проводнике благодаря источнику тока. Для того чтобы сила тока стала равной /, источник тока должен совершить работу против сил вихревого поля. Эта работа идет на увеличение энергии магнитного поля тока.

При размыкании цепи ток исчезает, и вихревое поле совершает положительную работу. Запасенная током энергия выделяется. Это обнаруживается, например, по мощной искре, возникающей при размыкании цепи с большой индуктивностью.

Энергия магнитного поля, созданного током, проходящим по участку цепи с индуктивностью L, определяется по формуле

Энергия магнитного поля выражена здесь через характеристику проводника L и силу тока в нем /. Но эту же энергию можно выразить и через характеристики поля. Вычисления показывают, что плотность энергии магнитного поля (т. е. энергия единицы объема) пропорциональна квадрату магнитной индукции: , подобно тому как плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности электрического поля .

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Самоиндукция. Взаимная индукция.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создаёт вокруг себя магнитное поле, индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току B ~ I :

Магнитный поток пропорционален магнитной индукции Ф ~ В .

Тогда сцепленный с контуром магнитный поток Ф пропорционален току в контуре:

Коэффициент пропорциональности L в этой формуле называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки). Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или катушки равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А собственный поток равен 1 Вб:

1 Гн = 1 Вб / 1 А.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нём, называется самоиндукцией.

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

ЭДС самоиндукции , возникающая в контуре, согласно закону Фарадея равна:

.

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L= сonst и

где знак «−», обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нём.

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Второй частный случай электромагнитной индукции: взаимная индукция − явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом контуре.

Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется ЭДС , которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 , созданного током в 1 контуре и пронизывающего 2-ой:

,

где L 12 – коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии контуров 1 и 2 и их взаимного расположения.

Если ток I 2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется ЭДС , которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 21 , созданного током во 2 контуре и пронизывающего 1-ый:

.

Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчёты, подтверждаемые опытом, показывают, что L 12 = L 21 .

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Рис.1. Магнитная энергия катушки.

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает

Формулу для энергия W м магнитного поля можно получить графическим методом, изобразив на графике зависимость магнитного потока Φ (I ) от тока I (рис. 2). Полное количество выделившейся теплоты, равное первоначальному запасу энергии магнитного поля, определяется площадью изображенного на рис. 2 треугольника.

Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

Вывод формулы энергии магнитного поля

Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

Пример 1

Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δ A в н е ш = - ε и н д I d t .

Применяя закон Фарадея, выводим: δ A в н е ш = 1 c I d Φ .

Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δ A в н е ш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии W m , соответственно:

d W m = I c d Φ .

Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ = L I c ,

где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4) , получим:

Из формулы (6) следует, что:

Определение 1

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I) , который протекает по контуру с индуктивностью L .

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c может быть записана в следующем виде: W m = 1 c ∫ ∑ I i " d Φ i " .

Для справедливости формул W m = L 2 I c 2 = 1 2 c и I Φ = Φ 2 2 L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

Примеры решения задач

Пример 2

Задание: Сила тока в витке эквивалентна I = 1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100 м к В б. Найдите энергию магнитного поля в витке.

Решение

В качестве фундамента решения задачи примем формулу: W m = 1 2 I Φ .

Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему С И: 100 м к В б = 10 - 4 В б.

Проведем вычисления: W m = 1 2 · 1 · 10 - 4 = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Ответ: W m = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Пример 3

Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I = 1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q = 10 - 8 К л. Полное сопротивление цепи равно R = 5 О м. Чему равняется взаимная индуктивность витков?

Решение

Магнитная энергия (W m) витка с током может быть записана как: W m = L I 2 2 . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: W m " = q U 2 . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: W m " = W m . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений W m = L I 2 2 и W m " = q U 2 , получим: L I 2 2 = q U 2 → L I 2 = q U . Из уравнения выше выразим индуктивность: L = q U I 2 . По закону Ома для участка цепи имеем: U = I R . Соответственно: L = q R I .

Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε 2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε 2 = - L d I d t . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε 2 = I 2 R , где силу тока найдем как: I 2 = d q d t , в таком случае выражение ε 2 = I 2 R преобразуется в формулу вида: ε 2 = d q d t R . Приравняем правые части выражений ε 2 = - L d I d t и ε 2 = d q d t R , на выходе получим: - L d I d t = d q d t R → - L d I = R d q .

Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q , получим: - L ∫ I 0 d I = R ∫ 0 q d q → L I = R q → L = R q I .

Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе С И, произведем вычисления: L = 10 - 8 · 5 1 = 5 · 10 - 8 (Г н) .

Ответ: L = 50 н Г н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Магнитное поле обладает энергией. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим электрическую цепь, содержащую соленоид, имеющий индуктивность и сопротивление (рис. 6.6). При размыкании ключа К ток не сразу падает до нуля. В течение некоторого времени он продолжает течь, поддерживаемый возникающей в катушке электродвижущей силой самоиндукции, и при этом на сопротивлении выделяется тепло, согласно закону Джоуля–Ленца. Возникает вопрос, за счет каких запасов энергии выделяется тепло, ведь цепь разомкнута, и внешний источник отключен.

При уменьшении тока в цепи уменьшается и индукция магнитного поля. Поэтому можно, по-видимому, говорить об энергии электрического тока или энергии магнитного поля, создаваемого током. В случае постоянных токов нельзя однозначно определить, где локализована эта энергия. Ответ на этот вопрос можно дать, изучая переменные магнитные поля или электромагнитные волны. В электромагнитных волнах переменные магнитные поля могут существовать без токов, их поддерживающих. Так как электромагнитные волны переносят энергию, можно заключить, что энергия сосредоточена в магнитном поле.

Найдем величину энергии магнитного поля. Из закона сохранения энергии следует, что, когда ток прекратится, магнитное поле исчезнет, и вся энергия магнитного поля перейдет в тепловую энергию. Согласно закону Джоуля–Ленца, за малое время на сопротивлении R выделится количество теплоты . По закону Ома ток I равен

С учетом этого равенства выделившееся количество теплоты можно записать в виде:

в этом выражении так как ток убывает, а выделяющаяся теплота . Зависимость магнитного потока от силы тока можно представить графически (рис. 6.7). Очевидно, что количество теплоты, выделившейся за время , равно первоначальному запасу магнитной энергии и определяется площадью треугольника, составленного прямой , прямой и осью . Эта площадь равна . Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемого током I в катушке с индуктивностью L , равна

.

Сравните выражение для магнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности, с выражением для энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе:

Энергия электрического поля в конденсаторе пропорциональна квадрату заряда, энергия магнитного поля, запасенная в катушке индуктивности, пропорциональна квадрату силы тока, то есть зависит от скорости движения зарядов. Напомним, что магнитное поле создается движущимися зарядами.

Работа индукционного тока сопровождается нагреванием проводником за счет энергии магнитного поля, которое не может исчезнуть бесследно. Соленоид, таким образом, служит своеобразным резервуаром энергии, значение которой вычисляется по формуле

Так как магнитное поле внутри соленоида является однородным, то плотность энергии магнитного поля, запасенной в соленоиде, равна энергии, деленной на объем соленоида:

Пример

Определим энергию магнитного поля соленоида. Обычный лабораторный соленоид длиной 10 см , площадью поперечного сечения 75 см 2 и числом витков, намотанных в несколько слоев, равным 3 400, обладает индуктивностью . Сопротивление такого соленоида 50 Ом . При использовании 6-вольтной батарейки установится ток . Запасенная в соленоиде магнитная энергия равна Это небольшая энергия. Однако эта энергия пропорциональна квадрату силы тока и может достигать больших значений. Так, например, в электромагнитах, используемых для исследований, магнитная индукция при максимальном токе составляет обычно от 1 до 1,5 Тл . Магнитная проницаемость железа достигает значений в сотни и тысячи единиц, поэтому в электромагните большая часть энергии сосредоточена в зазоре между полюсами электромагнита. Если объем зазора составляет 0,2 ,то запасенная энергия

/ = 1,8 Дж.

Это уже немалая энергия! Если, без специальных мер предосторожности, быстро разомкнуть цепь электромагнита, то при мгновенная мощность составит Р = 1,8 МВт.

Взаимная индукция

Аналогично, если в контуре 2 течет ток силой , он создает магнитный поток через контур 1:

.

(6.7)

Коэффициенты пропорциональности и называют взаимной индуктивностью контуров. Из (6.6) и (6.7) видно, что взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку через один из контуров при единичном токе в другом контуре. Коэффициенты и зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров, а также от магнитных свойств среды, окружающей контуры.

Можно показать, что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты и одинаковы: . Это свойство называется теоремой взаимности. Теорема взаимности позволяет не делать различия между и , а говорить просто о взаимной индуктивности двух контуров. Согласно теореме взаимности, если в контурах текут одинаковые токи, то магнитный поток через контур 1, созданный током в контуре 2, равен магнитному потоку через контур 2, созданному током в контуре 1.

Если контуры неподвижны и ферромагнетиков вблизи них нет, то при изменении силы тока в одном из контуров в другом контуре возникает электродвижущая сила индукции. Это явление называется явлением взаимной индукции. Согласно закону электромагнитной индукции электродвижущие силы индукции, возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно

При данном направлении тока будет зависеть от выбора положительной нормали к поверхности, ограниченной контуром 2. Положительные направления для токов (и электродвижущих сил) в обоих контурах можно выбрать произвольно. При заданном направлении тока направление положительной нормали к поверхности контура определяется правилом правого винта. Если эти направления выбраны, величину нужно считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, то есть совпадают по знаку с потоками самоиндукции.

Другими словами, , если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае . В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины .

Пример

При отсутствии устойчивого сигнала сотовой связи телефон становится более чувствительным к электромагнитным помехам. Происходит это из-за изменения сигнала вследствие явления взаимоиндукции. Пример такого эффекта – ухудшение приема телефона при приближении к телевизору или радиоприемнику.

6.6. Примеры на применение явления
электромагнитной индукции

Индуктивность контура.

Рассмотрим замкнутый контур, по которому течёт ток . Он создает магнитное поле. Его величина пропорциональна току.

где - индуктивность контура. Единица измерения индуктивности - генри

Связь с другими единицами . Если в контуре изменяется ток, то изменится магнитное поле, создаваемое током. Следовательно, изменится магнитный поток, сцепленный с контуром. Согласно закону Фарадея, в контуре возникнет индуцированная ЭДС. Возникновение в контуре ЭДС при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией . Для примера найдем индуктивность соленоида. Мы нашли, что магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен

(2)

Сравнивая Ур. (1) и (2) находим

.

В общем случае индуктивность контура зависит от его формы, размеров и магнитной проницаемости среды, в которой находится контур. Существует аналогия между индуктивностью (связывает ток и магнитный поток) и емкостью (связывает заряд и напряженность электрического поля).

Взаимная индукция.

Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных близко друг к другу. По контуру 1 течет ток . Он создает магнитное поле , которое пронизывает контур 2. Магнитный поток через контур 2, который пропорционален току :

(1)
- коэффициент пропорциональности. Когда изменяется ток , изменяется магнитное поле и магнитный поток . Это ведет к появлению ЭДС во втором контуре.

.

По аналогии рассматривается случай, когда ток течет по второму контуру. Он создает магнитный поток, который пронизывает контур 1.

При изменении тока в контуре 1 индуцируется ЭДС

Опыт показывает, что . Явление возникновения ЭДС индукции в одном из контуров, когда в другом изменяется сила тока, называется взаимной индукцией . - взаимная индуктивность контуров. Она зависит от формы, размеров и расположения контуров, а также от - магнитной проницаемости среды.

Энергия магнитного поля.

Ранее нашли, что элементарная работа при перемещении проводника с током в магнитном поле равна: . Это выражение применим к контуру с током . Ток создает магнитное поле, оно пронизывает контур. Магнитный поток, сцепленный с контуром, . При изменении тока в контуре, изменяется и магнитный поток - . При этом совершается элементарная работа . Работа по созданию магнитного потока

.

Это есть энергия магнитного поля, связанного с контуром.

Рассмотрим соленоид. Используя выражение для индуктивности соленоида, выражая ток через индукцию магнитного поля и учитывая связь , можно получить выражение для полной энергии магнитного поля соленоида.

.

Объем соленоида. При этом учли, что магнитное поле внутри соленоида однородное. Тогда энергия магнитного поля единицы объема или плотность энергии магнитного поля равна:

.

Трансформатор

Явление взаимной индукции лежит в основе работы трансформаторов. Это приборы, предназначенные для понижения или повышения напряжения в сети. Схема прибора

Имеется две катушки, соединенные между собой магнитопроводом или общим сердечником. Число витков в первой и второй катушках равно и , соответственно. По одной из катушек пропускается переменный электрический ток. Этот ток создает магнитное поле, которое почти полностью сосредоточено в сердечнике. Оно пронизывает витки обмотки второй катушки. Если к обмотке катушки 1 подключен источник с ЭДС , тогда ток в обмотке определяется согласно закону Ома с учетом ЭДС самоиндукции